Laplace 분포의 Cumulative Distribution Function(CDF)는 다음과 같이 정의됩니다.
F(x; μ, b) = (1/2) \* (1 + sign(μ) \* erf((x - μ) / (b \* sqrt(2))))
여기서, erf(x)는 오차 함수입니다.
stats_cdf_laplace 함수는 이 정의를 기반으로 구현되어 있습니다.
만약, x, μ, b의 값이 모두 음수일 경우, stats_cdf_laplace(x, μ, b) = stats_cdf_laplace(-x, -μ, -b)가 성립하지 않습니다.
이유는 오차 함수 erf(x)가 음수일 때의 값을 계산하는 방식 때문입니다.
오차 함수 erf(x)는 다음과 같이 정의됩니다.
erf(x) = (2 / sqrt(pi)) \* ∫[0, x] e^(-t^2) dt
이러한 정의를 사용하여, stats_cdf_laplace 함수를 구현할 때, 오차 함수의 음수 값을 계산할 때, 다음과 같은 규칙을 사용할 수 있습니다.
erf(-x) = -erf(x)
이 규칙을 사용하여, stats_cdf_laplace 함수를 구현할 때, 음수 값을 계산할 때, 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
stats_cdf_laplace(x, μ, b) = (1/2) \* (1 + sign(μ) \* erf((x - μ) / (b \* sqrt(2))))
= (1/2) \* (1 + sign(μ) \* -erf((-x - μ) / (b \* sqrt(2))))
= (1/2) \* (1 - sign(μ) \* erf((-x - μ) / (b \* sqrt(2))))
= (1/2) \* (1 - sign(μ) \* erf((x + μ) / (b \* sqrt(2))))
= (1/2) \* (1 - sign(μ) \* erf((x + μ) / (b \* sqrt(2))))
= (1/2) \* (1 - sign(-μ) \* erf((-x + (-μ)) / (b \* sqrt(2))))
= (1/2) \* (1 - sign(-μ) \* erf((-x + (-μ)) / (b \* sqrt(2))))
= (1/2) \* (1 - sign(-μ) \* erf((-x + (-μ)) / (b \* sqrt(2))))
= (1/2) \* (1 - sign(-μ) \* erf((-x + (-μ)) / (b \* sqrt(2))))
= (1/2) \* (1 - sign(-μ) \* erf((-x + (-μ)) / (b \* sqrt(2))))
= (1/2) \* (1 - sign(-μ) \* erf((x - μ) / (b \* sqrt(2))))
= (1/2) \* (1 + sign(μ) \* erf((x - μ) / (b \* sqrt(2))))
= stats_cdf_laplace(-x, -μ, -b)
따라서, stats_cdf_laplace(x, μ, b) = stats_cdf_laplace(-x, -μ, -b)가 성립하지 않습니다.
이러한 결과는 오차 함수의 음수 값을 계산할 때, 규칙을 사용하여 계산할 때, 얻어지는 결과입니다.
2025-05-25 21:09